Kolejny z przypadków kiedy zasady zachowania nie są spełnione...

Zderzenie centralne niecałkowicie sprężyste

Kulka o masie m1 i prędkości v1.
Plastelinowa kulka o masie m2 i prędkości v2.
Kulki nie obracają się. Zachodzi zderzenie centralne. Odkształcenie plasteliny pochłania energię Eplast.  

Z zasady zachowania pędu:

In[357]:=

Rp1 = m1 v1 + m2 v2m1 v1k + m2 v2k ;

In[358]:=

Rv2k = Solve[Rp1, v2k] 〚1, 1〛

Out[358]=

v2k (m1 v1 - m1 v1k + m2 v2)/m2

Z zasady zachowania energii:

In[359]:=

Re1 = m1 v1^2 + m2 v2^2 2 Eplast + m1 v1k^2 + m2 v2k^2 ;

Podstawiamy obliczony v2k z równania pędu

In[360]:=

Re2 = Re1 /. Rv2k

Out[360]=

m1 v1^2 + m2 v2^22 Eplast + m1 v1k^2 + (m1 v1 - m1 v1k + m2 v2)^2/m2

In[361]:=

v1kv = FullSimplify[Solve[Re2, v1k]]

Out[361]=

{{v1k (m1^2 v1 - (m1 m2 (-2 Eplast (m1 + m2) + m1 m2 (v1 - v2)^2))^(1/2) + m1 m2 v2)/( ... 4; (m1^2 v1 + (m1 m2 (-2 Eplast (m1 + m2) + m1 m2 (v1 - v2)^2))^(1/2) + m1 m2 v2)/(m1 (m1 + m2))}}

Rozwiązanie jest rzeczywiste, gdy wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne, tj. dla:

-2 Eplast (m1 + m2) + m1 m2 (v1 - v2)^2 ≥  0

In[378]:=

REplast = FullSimplify[Solve[-2 Eplast (m1 + m2) + m1 m2 (v1 - v2)^20, Eplast]]

Out[378]=

{{Eplast (m1 m2 (v1 - v2)^2)/(2 (m1 + m2))}}

Rozwiązanie jest rzeczywiste gdy Eplast jest mniejsze równe niż poziom energii EZP:

Eplast ≤ (EZP = (m1 m2 (v1 - v2)^2)/(2 (m1 + m2)))

Dla uproszczenia możemy przyjąc równe masy kulek m1=m2=1 oraz nieruchomą kulkę m2 (v2=0)

In[363]:=

ZAL1 = {m21, m11, v20 } ; REplast/. ZAL1

Out[364]=

{{Eplastv1^2/4}}

wtedy aby rozwiazanie było rzeczywiste wystarczy, aby energia pochłonięta Eplast była mniejsza od połowy wejściowej energii kinetycznej

Eplast< (v1^2/4 = Ek0/2)

Przykład:

A oto przykład dla nieruchomej kulki plastelinowej i równych mas, gdy energia pochłonięta Eplast jest większa niż połowa energi kinetycznej wejściowej Ek0 :

In[392]:=

RowBox[{RowBox[{PRZY1, =, RowBox[{{, RowBox[{m1 1, ,,  , m21, ,,  , v2 ... ;m1 v1k + m2 v2k /. PRZY1 Re2 = m1 v1^2 + m2 v2^2 2 Eplast + m1 v1k^2 + m2 v2k^2 /. PRZY1

Out[393]=

v1v1k + v2k

Out[394]=

RowBox[{v1^2, , RowBox[{RowBox[{0.6,  , v1^2}], +, v1k^2, +, v2k^2}]}]

In[395]:=

Solve[{Rp2, Re2}, {v1k, v2k}]

Out[395]=

RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{{, RowBox[{RowBox[{v1k, , RowBox[{RowBox[{(, RowBox[{RowBox ... owBox[{RowBox[{0.5, }], -, RowBox[{0.223607,  , }]}], )}],  , v1}]}]}], }}]}], }}]

Otrzymaliśmy wartości nierzeczywiste.
Jak widać jeśli energia pochłonięta przez plastelinę jest większa od połowy energii początkowej kulki metalowej uderzajacej w nieruchomą plastelinę to zasada zachowania pędu lub zachowania energii zawodzi.

Gdy  prędkości końcowe są równe

Z zasady zachowania pędu

In[369]:=

Rp3 = m1 v1 + m2 v2 (m1 + m2) vk ;

In[370]:=

Rvk = Solve[Rp3, vk] 〚1, 1〛

Out[370]=

vk (m1 v1 + m2 v2)/(m1 + m2)

Z zasady zachowania energii

In[371]:=

Re3 = m1 v1^2 + m2 v2^2 2 Eplast + (m1 + m2) vk^2 ;

Podstawiamy obliczony vk z równania pędu

In[372]:=

Re4 = Re3 /. Rvk REplast = FullSimplify[Solve[Re4, Eplast]] 〚1, 1〛

Out[372]=

m1 v1^2 + m2 v2^22 Eplast + (m1 v1 + m2 v2)^2/(m1 + m2)

Out[373]=

Eplast (m1 m2 (v1 - v2)^2)/(2 (m1 + m2))

Jak widać dla równych prędkości końcowych Eplast nie może być większe niż wartość  EZP. Zatem dwa ciała o takich samych prędkościach końcowych (sklejone) zawsze zachowują ZZE i ZZP.

Wnioski

ZZE lub ZZP nie są zachowane w zderzeniu centralnym niecałkowicie sprężystym, gdy prędkości końcowe dwu zderzających się ciał są różne oraz energia pochłonięta w zderzeniu jest większa niż EZP:

v1k ≠ v2k && Eplast > (EZP = (m1 m2 (v1 - v2)^2)/(2 (m1 + m2)) )

UWAGA energia może być pochłonięta na inne sposoby (np. zgromadzona w rotorze jak w zderzaku Łagiewki)


Copyright (c) Jagen, Białystok, 2006-2007

 

  Spowrotem