Strona w budowie....

NOWE ZASADY ZACHOWANIA

Dotyczące układów punktów materialnych nie dysponujących dodatkową energią wewnętrzną.

MOMENT PĘDU L

Moment pedu jest iloczynem wektorowym promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r,  ]oraz wektora pędu m.Overscript[v ,  ].

L_1 = Overscript[r,  ]  (m Overscript[v,  ]) = m (Overscript[r,  ] Overscript[v,  ])

MOMENT ENERGII J

Moment energii jest wielkoscią skalarną; definuje się jako iloczyn połowy masy m oraz iloczynu skalarnego wektora (Overscript[r,  ] Overscript[v,  ]) przez siebie (Overscript[r,  ] Overscript[v,  ] jest iloczynem wektorowym promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r,  ]oraz wektora prędkości Overscript[v,  ]).

J_1 = m/2 (Overscript[r,  ] Overscript[v,  ] ) . (Overscript[r,  ] Overscript[v,  ] )

Wymiar momentu energii J_1 to dżul razy metr kwadratowy: J [(kg m^4)/s^2] = J[Joule m^2]

MOMENT PĘDU L^(2) 2-rzędu

Moment pędu drugiego rzędu jest iloczynem masy m przez iloczyn wektorowy promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r_2,  ] oraz  wektora powstałego z iloczynu wektorowego dowolnego innego promienia wodzącego punktu materialnego Overscript[r_1,  ] oraz wektora prędkości Overscript[v,  ]).

L^(2) = m (Overscript[r_2,  ]  (Overscript[r_1,  ] Overscript[v,  ] ))

MOMENT ENERGII J^(2) 2-rzędu

Moment energii drugiego rzędu jest iloczynem masy m przez kwadrat iloczynu wektorowego promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r_2,  ] oraz  wektora powstałego z iloczynu wektorowego dowolnego innego promienia wodzącego punktu materialnego Overscript[r_1,  ] oraz wektora prędkości Overscript[v,  ]).

J^(2) = m/2 (Overscript[r_2,  ]  (Overscript[r_1,  ] Overscrip ... erscript[r_2,  ]  (Overscript[r_1,  ] Overscript[v,  ] ) )

MOMENT PĘDU L^(n) n-rzędu

Moment pędu n-rzędu jest iloczynem masy m przez iloczyn wektorowy promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r_n,  ] oraz  wektora powstałego z iloczynów wektorowych dowolnych innych promien wodzących punktu materialnego Overscript[r_ (n - 1),  ] oraz wektora prędkości Overscript[v,  ]).

L^(n) = m (Overscript[r_n,  ] … (Overscript[r_1,  ] Overscript[v,  ] ) )

MOMENT ENERGII J^(n) n-rzędu

Moment energii drugiego rzędu jest iloczynem masy m przez kwadrat iloczynu wektorowego promienia wdzącego punktu materialnego Overscript[r_2,  ] oraz  wektora powstałego z iloczynu wektorowego dowolnego innego promienia wodzącego punktu materialnego Overscript[r_1,  ] oraz wektora prędkości Overscript[v,  ]).

J^(n) = m/2 (Overscript[r_n,  ] … (Overscript[r_1,  ] &# ... #62754; ] … (Overscript[r_1,  ] Overscript[v,  ] ) )

REGUŁA WYNIKANIA ZASAD ZACHOWANIA

dla pędu

dla każdego izolowanego układu punktów materialnych,jeżeli zachowana jest energia układu to zachowany jest pęd układu.

Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (Overscript[v_i,  ] . Overscript[v_i,  ... bsp;⇒Underoverscript[  ∑, i = 1, arg3] m_iOverscript[v_i,  ] = const

dla momentu pędu

dla każdego izolowanego układu punktów materialnych,jeżeli zachowany jest moment energii J układu to zachowany jest moment pędu.

Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (Overscript[r_i,  ] Overscript[v_ ... ;∑, i = 1, arg3] m_i (Overscript[r_i,  ] Overscript[v_i,  ]) = const

dla momentu pędu 2-rzędu

dla każdego izolowanego układu punktów materialnych,jeżeli zachowany jest moment energii J^(2)n-rzędu układu to zachowany jest moment pędu n-tego rzędu L^(2)układu.

Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (Overscript[r_ (2, i),  ]  (Overs ... #62754; ]  (Overscript[r_ (1, i),  ] Overscript[v_i,  ] )) = const

dla momentu pędu n-rzędu

Reguła wynikania zasad zachowania dla momentu pędu n-rzędu mówi,że dla każdego izolowanego układu punktów materialnych,jeżeli zachowany jest moment energii J^(n)n-rzędu układu to zachowany jest moment pędu n-tego rzędu L^(n)układu.

Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (Overscript[r_ (n, i),  ] … ... 24;… (Overscript[r_ (1, i),  ] Overscript[v_i,  ]) ) = const

Dowód

Wprowadźmy wektor  Overscript[w,  ]

 Overscript[w =,  ] Overscript[r_ (n, i),  ] … (Overscript[r_ (1, i),  ] Overscript[v_i,  ] )

wtedy  momentu energii J^(n) zapiszemy jako:

J^(n) = Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (w_i . w_i)

pochodna  momentu energii J^(n) po wektorze  Overscript[w,  ] (przy założeniu że masy m_isą niezmienne) wynosi:

J^(n)/w_i = Underoverscript[1/2∑, i = 1, arg3] m_i (w_i . w_i)/w_i = Underoverscript[∑, i = 1, arg3] m_iw_i = L^(n)

Jeżeli pochodna momentu energii J^(n) jest stała to jej pochodna jest zerowa czyli stała. CBDU.

Krytyka

Dzięki uprzejmości profesjonalnych fizyków udało mi się uzyskać ich opinię na temat reguły wynikania zasad zachowania.

On 1 Lip, 11:26, Marek Józefowski <marjo...@friko7.onet.pl> wrote:
[..]
> Nawet gdyby ta implikacja była prawdziwa, to w odróżnieniu
> od poprzedniej nie daje nam żadnej dodatkowej wiedzy.
> Ale NIE jest ona prawdziwa. Aby to udowodnić wystarczy podać
> jeden kontrprzykład - który np. zachodzi już dla jednego ciała.
> Niech na ciało (sztywne) z momentem pędu L działa
> moment siły N, taki, że N jest zawsze prostopadły do L.
Równanie ruchu ma postać:
> dL/dt = N
> Oczywiście w tym wypadku L się zmienia, ponieważ
> działa niezerowy moment siły.
> Pomnóżmy skalarnie obie strony przez wektor L:
> (kropka oznacza mnożenie skalarne)
> L.dL/dt = 1/2 d/dt (L^2) = L.N = 0
> A więc d/dt L^2 = 0 -> jest całką ruchu (nie zmienia
> się wzłuż ruchu) cbdu.

ODPOWIEDŹ NA KRYTYKĘ

Powyższy dowód przeprowadzony jest w układzie NIEIZOLOWANYM, więc nie spełnia warunku proponowanych zasad zachowania. Postaram się - najpierw na łatwym przykładzie porównawczym, potem na trudniejszym właściwym - udowodnić, że Marek J. nie ma racji.

Rozpatrzmy układ dwóch różnych mas (m_A i m_B) uwiązanych na nitkach rotujących po okręgach wokół osi obrotu. "Reguła wynikania zasad zachowania" obowiązuje również dla pędu. Przepiszmy dowód Marka dla pędu jednej z mas m_A (czyli części układu):

"Niech na ciało (sztywne) z pędem p działa
siła F, taki, że F jest zawsze prostopadła do p.
Równanie ruchu ma postać:
dp/dt = F
Oczywiście w tym wypadku p się zmienia, ponieważ
działa niezerowa siły.
Pomnóżmy skalarnie obie strony przez wektor p:
(kropka oznacza mnożenie skalarne)
p.dp/dt = 1/2 d/dt (p^2) = p.F = 0
A więc d/dt p^2 = 0 -> jest całką ruchu (nie zmienia
się wzłuż ruchu). [ Ze stałości p^2 wcale nie wynika  stałość wektora p.] cbdu. "

Otrzymaliśmy, (pozornie) wbrew proponownym zasadom, że moduł wektora pędu p jest stały, ale jego kierunek cały czas się obraca więc nie jest stały.
Otóż błędem w takim ujęciu jest zawężenie rozważań do tylko jednego ciała, na które działa niezamocowana siła F. W taki sposób rozpatrywane ciało poddane zewnętrznej sile jest układem nieizolowanym. Zobaczmy co się stanie jeśli uwzglednimy drugie ciało, czyli w układzie gdzie nie ma zewnętrznych sił, a więc izolowanym.
Oba ciała rotując działają na siebie poprzez więź równymi siłami odśrodkowymi.

F_A - F_B0 ⟹p_A/t - p_B/t0⟹p_A - p_B0⟹p_A -p_B

W związku z powyższym widzimy, że wektory pędów obu ciał są równe co do wartości i przeciwnie skierowane. Suma wektorów pędów dla całego układu jest stała i równa zeru. Tym razem -  w układzie izolowanym - mamy stałości sumy p^2 oraz stałość sumy wektorów p.

Wróćmy do dowodu Marka.[..długie długie..]  CDN..

POZA TYM

Zasady zachowania zgodnie z Emmą Noether są funkcją symetrii a te są funkcją ilości wymiarów. Ilość wymiarów jest funkcją złożoności układu. Dlatego dla każdego układu da się dobrać zasadę zachowania odpowiadającą danej złożoności. Jeśli do jakiegoś prostego i opisanego zasadami zachowania układu dodamy nowy obrót (nie-inercjalny z definicji), który się nie da opisać bez zwiększania złożoności opisu układu to tak jakbyśmy dodali nowy wymiar. Obrót jest ograniczeniem, więzią czyli PRZEKŁADNIĄ. Dodając nowy obrót (nową przekładnię) tworzymy nowe symetrie - i zgodnie z Noether - w tym układzie - należy prawa zachowania zmodyfikować o nowy wymiar.

Przykład. Weźmy zderzenie dwóch ciał, które zachowują pęd i energię. Umieśćmy ciała na uwięzi tak aby rotowały. Wyobraźmy sobie że podczas rotacji siła odśrodkowa nieco rozciągnie promienie wodzące ciał. Po rozciągnieciu energia kinetyczna ciał ulega zmniejszeniu -zatem energia nie jest zachowana. Tym samym pęd przestaje być zachowany. Obowiązuje za to zachowanie momentu pędu. Dodaliśmy nowy wymiar - mnożąc pęd przez R. Nowy wymiar R opisuje uwieź na której krążą ciała. Gdybyśmy do naszych ciał dodali jeszcze nowy obrót tak, że wyszłaby dziwaczna trajektoria (np. podobna do kadrioidy jak w pędniku Thornsona) okazałoby się, że moment pędu już nie jest zachowany i aby otrzymać wielkość zachowawczą należy pomnożyć moment pędu jeszcze raz przez nowy wymiar czyli razy R. I teraz zbudowaliśmy momentu pędu 2. rzędu, który w tym nowym układzie może być zachowany (chyba, że układ wymaga dalszych wymiarów do opisu).

Wczoraj (26.06.2007) błędnie podałem, że zasada zachowania momentu pędu wynika z zasady zachowania momentu energii. Jest na odwrót.

Moment pędu b jest pochodną po wektorze w z momentu eneregi J. Z tego, że suma momentów energii J układu jest stała wynika, że suma jej pochodnych tj. suma momentów pędu b musi być stała (zerowa).

Podobnie z energią i jej pochodną po prędkości czyli pędem. Z zachowania energii wynika zachowanie pędu.

Zatem można znaleźć układy, kiedy pęd jest zachowany, a energia zderzenia nie jest (np. niektóre zderzenia 3 ciał). Można znaleźć sytuację kiedy moment energii nie jest zachowany a zachowany jest moment pędu.

Podobnie jak w innych zasadach zachowania w mechanice te w/w wymagają niezmiennej masy układu.

UWAGA: Niektórzy traktują zasady zachowania statystycznie: jak zachowuje większość przypadków to musi być prawdziwa. To oczywiście złe podejście. Jeden przypadek niespełnienia zasady zachowania czyni ją nieważną. Wykazywane niezachowanie energii np. w podwójnym rezonansie świadczy, że zasada zachowania energii w obecnej formie wymaga okrojenia dziedziny zastosowania. Reguła wynikania zasad zachowania próbuje pokazać dokładnie, gdzie kończy się ta dziedzina, dla układów niezmieniających masę.

Z Bogiem,

Jagen 26.06.2007-04.07.2007

mrhopen@poczta.onet.pl

 

 


 

 

  Powrót do strony głównej